Задачи прошедших веков, связанные с понятием функции

Задача Лейбница о трактрисе (собачьей кривой)

Пусть по оси абсцисс бежит собака, а ее хозяин (первоначально находившийся на оси ординат) бежит за ней так, что поводок все время натянут. В этом случае поводок будет направлен по касательной к пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки.

Эту кривую называют трактрисой. Через полтора столетия после ее открытия она сыграла роль в утверждении неевклидовой геометрии Лобачевского: если повернуть трактрису вокруг оси абсцисс, то на полученной поверхности вращения будет выполняться геометрия Лобачевского.

Пушки и учёные

Траекторией снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник с момента изобретения пороха (в XIII веке). Ни одна тогдашняя крепость не могла долго выдержать артиллерийский огнь. Сначала применяли лишь настильный огонь, а это не давало возможности располагать артиллеристов в укреплении за холмом. Лишь позже догадались применять навесный огонь, позволяющий стрелять из-за укрытия. Чтобы обеспечить прицельность навесного огня, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Учёные доказали, что тело движется по параболе. Если при заданной начальной скорости снаряда V менять угол α, то получится бесконечное множество парабол.
Все параболы, для которых 45° ≤ α ≤ 90°, касаются одной и той же линии, имеющей уравнение

Y=½(V²/g – gx²/ V²)

Её называют параболой безопасности. Если точка N находится вне ограниченной ею области, то при начальной скорости V снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона.

Оптические свойства параболических зеркал

По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду, поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это невозможно при тогдашнем уровне техники.
Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболических зеркал возможно.
Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.
Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», означающее по-латыни «очаг».

.